Экстремум

Функция (синяя) и её производная (красная). Глобальный максимум функции обозначен символом [math]\displaystyle{ \star }[/math], её глобальный минимум — ☐, локальный максимум — ◇, локальный минимум — +, нуль производной без экстремума — ╳. Видно, что остальные нули производной соответствуют точкам экстремума функции.

Экстре́мум (лат. extremum — крайний) в математике — максимальное или минимальное значение функции на заданном множестве. Точка, в которой достигается экстремум, называется точкой экстремума. Соответственно, если достигается минимум — точка экстремума называется точкой минимума, а если максимум — точкой максимума. В математическом анализе выделяют также понятие локальный экстремум (соответственно минимум или максимум).

Задачи нахождения экстремума возникают во всех областях человеческого знания: теория автоматического управления, проблемы экономики, биология, физика и т. д.

Определения

Пусть дана функция [math]\displaystyle{ f:M \subset \R \to \R, }[/math] и [math]\displaystyle{ x_0 \in M^0 }[/math] — внутренняя точка области определения [math]\displaystyle{ f. }[/math] Тогда

• [math]\displaystyle{ x_0 }[/math] называется точкой локального максимума функции [math]\displaystyle{ f, }[/math] если существует проколотая окрестность [math]\displaystyle{ \dot{U}(x_0) }[/math] такая, что

  [math]\displaystyle{ \forall x \in \dot{U}(x_0) \quad f(x) \leqslant f(x_0); }[/math]

• [math]\displaystyle{ x_0 }[/math] называется точкой локального минимума функции [math]\displaystyle{ f, }[/math] если существует проколотая окрестность [math]\displaystyle{ \dot{U}(x_0) }[/math] такая, что

  [math]\displaystyle{ \forall x \in \dot{U}(x_0) \quad f(x) \geqslant f(x_0). }[/math]

• [math]\displaystyle{ x_0 }[/math] называется точкой глобального (абсолютного) максимума, если

  [math]\displaystyle{ \forall x\in M\quad f(x) \leqslant f(x_0); }[/math]

• [math]\displaystyle{ x_0 }[/math] называется точкой глобального (абсолютного) минимума, если

  [math]\displaystyle{ \forall x\in M\quad f(x) \geqslant f(x_0). }[/math]

Если неравенства выше строгие, то [math]\displaystyle{ x_0 }[/math] называется точкой строгого локального или глобального максимума или минимума соответственно.

Значение функции [math]\displaystyle{ f(x_0) }[/math] называют соответственно (строгим) локальным или глобальным максимумом или минимумом. Точки, являющиеся точками (локального) максимума или минимума, называются точками (локального) экстремума.

Замечание

Функция [math]\displaystyle{ f, }[/math] определённая на множестве [math]\displaystyle{ M, }[/math] может не иметь на нём ни одного локального или глобального экстремума. Например, [math]\displaystyle{ f(x) = x,\; x\in (-1,1). }[/math]

Необходимые условия существования локальных экстремумов

• Из леммы Ферма вытекает следующее:

Пусть точка [math]\displaystyle{ x_0 }[/math] является точкой экстремума функции [math]\displaystyle{ f }[/math], определенной в некоторой окрестности точки [math]\displaystyle{ x_0 }[/math].

Тогда либо производная [math]\displaystyle{ f'(x_0) }[/math] не существует, либо [math]\displaystyle{ f'(x_0) = 0 }[/math].

Эти условия не являются достаточными, так, функция может иметь нуль производной в точке, но эта точка может не быть точкой экстремума, а являться, скажем, точкой перегиба, как точка (0,0) у функции [math]\displaystyle{ f(x)=x^3 }[/math].

Достаточные условия существования локальных экстремумов

• Пусть функция [math]\displaystyle{ f\in C(x_0) }[/math] непрерывна в [math]\displaystyle{ x_0\in M^0, }[/math] и существуют конечные или бесконечные односторонние производные [math]\displaystyle{ f'_+(x_0), f'_-(x_0) }[/math]. Тогда при условии

[math]\displaystyle{ f'_+(x_0) \lt 0,\; f'_-(x_0) \gt 0 }[/math]

[math]\displaystyle{ x_0 }[/math] является точкой строгого локального максимума. А если

[math]\displaystyle{ f'_+(x_0) \gt 0,\; f'_-(x_0) \lt 0, }[/math]

то [math]\displaystyle{ x_0 }[/math] является точкой строгого локального минимума.

Заметим, что при этом функция не обязательно дифференцируема в точке [math]\displaystyle{ x_0 }[/math].

• Пусть функция [math]\displaystyle{ f }[/math] непрерывна и дважды дифференцируема в точке [math]\displaystyle{ x_0 }[/math]. Тогда при условии

[math]\displaystyle{ f'(x_0)=0 }[/math] и [math]\displaystyle{ f''(x_0) \lt 0 }[/math]

[math]\displaystyle{ x_0 }[/math] является точкой локального максимума. А если

[math]\displaystyle{ f'(x_0)=0 }[/math] и [math]\displaystyle{ f''(x_0) \gt 0 }[/math]

то [math]\displaystyle{ x_0 }[/math] является точкой локального минимума.

• Пусть функция [math]\displaystyle{ f }[/math] дифференцируема [math]\displaystyle{ n }[/math] раз в точке [math]\displaystyle{ x_0 }[/math] и [math]\displaystyle{ f'(x_0)=f''(x_0)=\dots =f^{(n-1)}(x_0)=0 }[/math], а [math]\displaystyle{ f^{(n)}(x_0)\ne 0 }[/math].

Если [math]\displaystyle{ n }[/math] чётно и [math]\displaystyle{ f^{(n)}(x_0)\lt 0 }[/math], то [math]\displaystyle{ x_0 }[/math] — точка локального максимума. Если [math]\displaystyle{ n }[/math] чётно и [math]\displaystyle{ f^{(n)}(x_0)\gt 0 }[/math], то [math]\displaystyle{ x_0 }[/math] — точка локального минимума. Если [math]\displaystyle{ n }[/math] нечётно, то экстремума нет.

См. также

• Критическая точка (математика)
• Методы оптимизации
• Условный экстремум

Литература

• Пшеничный Б.Н. Необходимые условия экстремума. — М.: Наука, 1969. — 150 с.